⁠Мой ответ на критику экономической задачи.

⁠ 

   В своем блоге Николай Дмитриевич Кликунов (http://klikunov-nd.livejournal.com/744307.html?utm_source=vksharing&utm_medium=social) пишет:

Задача из ЕГЭ по математике и ее критика

   Пошел вчера в спортзал, там был сын одной из наших сотрудниц. Как оказалось он сдавал математику и не дорешал две задачи.
   Одна из них выглядит следующим образом:
   Банк предоставил кредит под 30% годовых на три года. В конце каждого года заемщик должен уплачивать банку равные суммы (аннуитетные платежи). Разнциа между суммой выплаченной банку и кредитом составляет какое-то количество денег (обозначу ее К). Найти размер выданного кредита.
   Я объяснил как решить
X1*1,3=Y
X2*1,3^2=Y
X3*1,3^3=Y

где X1+X2+X3=Aн, размер выданного кредита, а Ак=3*Y, так как аннуитетных платежей было три и они были равныим

   Соответственно
Ан=(Ак/3)*(1/(1,3)+1/(1,3)^2+1/(1,3)^3)=(Ак/3)*1,816=Ак*0,605

Ан=(Ан+К)*0,605=К*0,605/(1-0,605)

   Ну и подставьте К.

   Решил я эту задачу и подумал, почему я не даю подобную хрень студентам своим?
   А потому что нельзя тупо складывать платежи выплаченные в разные годы, это разные деньги!!!
   Вот и получается, что математика есть, а экономики мало.

   Николай Дмитриевич, а почему Вы не даете эту задачу студентам? Может быть, потому что они учатся в экономическом вузе. И Вы их учите учитывать еще и прочие факторы: инфляцию и т.п. А это задача из ЕГЭ по математике. И экономики здесь достаточно. Тем более, когда Иван Иванович берет кредит, он просчитывает: сколько взял, сколько уплатит и какую сумму он переплатит банку. Он не учитывает стоимость барреля нефти и котировки валют.

   Хорошая задача для подготовленного и способного ученика.

Мое решение.

   Пусть S– сумма взятого кредита.
   Т.к. кредит взят под 30%, то банк  сумму долга увеличивает каждый год в 1,3 раза.
   Обозначим Х – ежегодный платеж.

   1) Сумму кредита S банк увеличивает в 1,3 раза и клиент вносит первый ежегодный платеж Х:

S·1,3-Х – оставшийся долг после внесения первого ежегодного платежа.

   2) Оставшуюся сумму долга (S·1,3-Х) банк увеличивает в 1,3 раза, и клиент вносит ежегодный платеж Х:

(S·1,3-Х)·1,3-Х=S·1,3² -1,3Х-Х – оставшийся долг после внесения второго ежегодного платежа.

   3) Оставшуюся сумму долга (S·1,3² -1,3Х-Х) банк увеличивает в 1,3 раза, и клиент вносит ежегодный платеж Х:

(S·1,3² -1,3Х-Х)·1,3-Х.  Кредит погашен. Долг равен нулю.

S·1,3³ -1,3²Х -1,3Х –Х=0

   Действуем дальше. Наша цель – выразить Х.

   Перенесем все слагаемые, содержащие Х вправо.

S·1,3³=1,3²Х+1,3Х +Х

   Вынесем Х за скобки

S·1,3³=Х(1,3² +1,3 +1)

   Выразим Х

Х= S·1,3³/(1,3² +1,3 +1).

   Деление (/), естественно, учеником будет записано в виде дроби. Это облегчит понимание данной записи и дальнейших действий.

   Действуем дальше.

   Так как кредит был погашен за 3 года тремя платежами равными Х, то клиент выплатил банку сумму

3Х=3 S·1,3³:(1,3² +1,3 +1).

   Помня, что «наш товарищ» брал у банка S, зная, что заплатил он 3 S·1,3³:(1,3² +1,3 +1), переплатив при этом К (по смыслу задачи К – это конкретное данное в условии задачи число), получаем:
3 S·1,3³:(1,3² +1,3 +1) - S=К.

   Далее необходимо привести левую часть к общему знаменателю

(S ·3 ·1,3³- S ·1,3² - S ·1,3 - S) /(1,3² +1,3 +1)=К,

вынести в числителе S за скобку и получить

S ·(3 ·1,3³-1,3²-1,3 -1) /(1,3² +1,3 +1)=К

   Теперь выражаем S:

S= К·(1,3² +1,3 +1)/ (3 ·1,3³-1,3²-1,3 -1).

   А дальше кропотливые подсчеты. Ну на то это и задача второй части.
   Что будет если не сделать эти подсчеты? Потеря баллов, естественно.

   Но! Как минимум один, как максимум два первичных балла у выпускника будет. А это не мало!

   З.Ы.: Николай Дмитриевич, на Вашей страничке вконтакте под репостом этой задачи был комментарий, что пришлось 1,25 возводить в 5 степень. Совет: необходимо представить 1,25 как 5/4.  И получившуюся обыкновенную дробь 5/4 возводить в 5 степень:
5 в 5 степени: 5·5·5·5·5=25·25·5=625·5=3125
4 в 5 степени: 4·4·4·4·4=16·16·4=256·4=1024
   Полученную дробь 3125/1024 делить – бессмысленное занятие (проверьте на калькуляторе). Производить расчеты лучше в обыкновенных дробях.